NumPy解线性代数问题

矩阵运算

import numpy.linalg as la
import numpy as np
a = np.array([[1, 2, 3]])
b = np.array([[4], [5], [6]])
print(la.norm(a))  # a的二范数，即模长
print(b@a)  # 即a.dot(b)，可表示点乘（一维数组）和矩阵乘法（二维数组）
a = np.reshape(a, -1)
b = np.reshape(b, -1)
print(np.inner(a, b))  # a,b的内积，两参数的shape必须为(n,)（1维）
print(np.cross(a, b))  # a,b的叉乘

A = np.arange(1, 17).reshape(4, 4)
B = np.eye(4)  # 4阶单位矩阵
print(la.det(A))  # 行列式
print(la.matrix_rank(A))  # 秩
print(A.T)  # 转置阵
print(la.inv(A+10*B))  # (A+10*B)的逆矩阵
print(A@B)
print(np.c_[A, B])  # 横向分块矩阵
print(np.r_[A, B])  # 纵向分块矩阵
print(A[0:2, 0:2])  # 矩阵切片，左上角2*2的子矩阵
print(np.delete(A, 3, axis=0))  # 删除某（些）行(0)或列(1)
print(np.delete(A, [0, 2], axis=1))
print(np.delete(A, [0, 2]))  # 默认按一维顺序删除单点

输出：

3.7416573867739413
[[ 4  8 12]
 [ 5 10 15]
 [ 6 12 18]]
32
[-3  6 -3]
4.7331654313261276e-30
2
[[ 1  5  9 13]
 [ 2  6 10 14]
 [ 3  7 11 15]
 [ 4  8 12 16]]
[[ 0.11277778  0.00333333 -0.00611111 -0.01555556]
 [-0.005       0.09       -0.015      -0.02      ]
 [-0.02277778 -0.02333333  0.07611111 -0.02444444]
 [-0.04055556 -0.03666667 -0.03277778  0.07111111]]
[[ 1.  2.  3.  4.]
 [ 5.  6.  7.  8.]
 [ 9. 10. 11. 12.]
 [13. 14. 15. 16.]]
[[ 1.  2.  3.  4.  1.  0.  0.  0.]
 [ 5.  6.  7.  8.  0.  1.  0.  0.]
 [ 9. 10. 11. 12.  0.  0.  1.  0.]
 [13. 14. 15. 16.  0.  0.  0.  1.]]
[[ 1.  2.  3.  4.]
 [ 5.  6.  7.  8.]
 [ 9. 10. 11. 12.]
 [13. 14. 15. 16.]
 [ 1.  0.  0.  0.]
 [ 0.  1.  0.  0.]
 [ 0.  0.  1.  0.]
 [ 0.  0.  0.  1.]]
[[1 2]
 [5 6]]
[[ 1  2  3  4]
 [ 5  6  7  8]
 [ 9 10 11 12]]
[[ 2  4]
 [ 6  8]
 [10 12]
 [14 16]]
[ 2  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16]

解线性方程组

齐次线性方程组的基础解系

scipy.linalg.null_space()可以获得基础解系 \[ \begin{cases} x_1 -5x_2 +2x_3 -3x_4=0 \\ 5x_1 +3x_2 +6x_3 -x_4=0 \\ 2_1 +4x_2 +2x_3 +x_4=0 \\ \end{cases} \] 的基础解系：

import numpy as np
from scipy.linalg import null_space
A = np.array([[1, -5, 2, -3], [5, 3, 6, -1], [2, 4, 2, 1]])
print(null_space(A))  # 零空间，即基础解系

输出：

[[ 0.79428706 -0.07832183]
 [-0.19204896 -0.36561063]
 [-0.52695834  0.38844091]
 [ 0.23353839  0.84220438]]

两个列向量即为基础解系

非齐次线性方程组解

numpy.linalg.pinv()可以求矩阵的伪逆矩阵，这样对于形如\(Ax=b\)的线性方程组，pinv(A)@b就可以得到一组解

一般地，当方程组有：

• 无穷多组解，得到的是最小范数解
• 唯一解，得到的是唯一的那组解
• 无解，得到的是最小二乘解\(x^*\)，即满足\(|Ax^*-b|^2\)最小的解

特征值与特征向量

numpy.linalg.eig()可以得到矩阵的特征值和特征向量

返回二元组分别是特征值和特征向量的list，特征向量表示为列向量

例如： $$ A=,

P=,

=$$ 验证\(P^{-1}AP=\Lambda\)

import numpy as np
from numpy.linalg import eig
A = np.array([[0, -2, 2], [-2, -3, 4], [2, 4, -3]])
values, vectors = eig(A)
print(values)
print(vectors)
print(np.linalg.inv(vectors)@A@vectors)

输出：

[ 1. -8.  1.]
[[ 0.94280904 -0.33333333 -0.2981424 ]
 [-0.23570226 -0.66666667  0.74535599]
 [ 0.23570226  0.66666667  0.59628479]]
[[ 1.00000000e+00 -6.10622664e-16 -1.11022302e-16]
 [ 0.00000000e+00 -8.00000000e+00 -4.44089210e-16]
 [-5.55111512e-17  4.44089210e-16  1.00000000e+00]]